Schultüten
Jana und Nish basteln zu ihrer Einschulung Schultüten.
Ihre Eltern haben ihnen bereits rundes dickes Papier bereit gelegt, mit einem Radius von .
Dieses malen sie bunt an und schneiden einen Kreissektor aus dem Papier aus, um einen Kegel zu formen.
Jana schneidet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel aus. Nish wählt für seine Schultüte .
Tipp
Die Bogenlänge des ausgeschnittenen
Kreissektors (Kreisausschnitt) ist der
Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius .
Jana ist der Meinung, dass in ihre Tüte doppelt so viel Inhalt passt wie in Nishs Tüte, da sie einen doppelt so großen Winkel gewählt hat. Berechne, ob Jana mit ihrer Annahme richtig liegt.
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Teillösung a)
Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch:
Dabei ist der Radius des Kegelgrundkreises und die Höhe des Kegels.
Die Bogenlänge des Kreissektors ist der Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius .
Volumen von Nishs Schultüte
Nish hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel ausgeschnitten, d.h. der Radius seiner Schultüte beträgt:
Da ist, beträgt sein Kegelradius: .
In der Abbildung des Kegels gilt für das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck der Satz des Pythagoras:
Mit und erhält man für die Höhe :
Setzt man und in Gleichung ein, ergibt sich ein Volumen von:
Volumen von Janas Schultüte
Jana hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel ausgeschnitten, d.h. der Radius ihrer Schultüte beträgt:
Da ist, beträgt ihr Kegelradius :
Für die Höhe erhält man gemäß Gleichung :
Setzt man und in Gleichung ein, ergibt sich ein Volumen von:
Antwort
Jana liegt falsch. Ihr Kegelvolumen ist rund viermal so groß wie das Kegelvolumen von Nish.
Lina kommt später zum Basteln dazu und bekommt die Diskussion zwischen Nish und Jana mit. Sie möchte beide übertrumpfen und eine Schultüte basteln, in die am meisten Süßes rein passt. Sie benutzt ein übriges rundes Papier mit und schneidet einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel aus dem Papier aus. Bestimme den Winkel , für den das Kegelvolumen maximal wird.
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Teillösung b)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwert
Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung
Die Zielfunktion bei dieser Aufgabe ist das Volumen eines Kegels:
Die Nebenbedingung ergibt sich aus der obigen rechten Abbildung.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:
Einsetzen in die Zielfunktion
Die einfachste Lösung der Extremwertaufgabe erhält man, wenn Gleichung nach aufgelöst und in Gleichung eingesetzt wird. Mit folgt:
Für den Definitionsbereich gilt: .
Anmerkung: Für und ist das Volumen gleich Null.
Bestimmung des Extremwertes
Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
Setze die erste Ableitung gleich Null:
Nach aufgelöst erhält man :
Da ist, gilt: .
Setze Gleichung in die zweite Ableitung ein:
Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.
Bestimmung des Kegelgrundkreisradius
Setzt man Gleichung in ein,
so erhält man:
Zieht man die Wurzel aus , so erhält man für den Radius des Grundkreises des Kegels :
Bestimmung des Mittelpunktswinkels
Löse Gleichung nach auf:
Mit und folgt für :
Das maximale Volumen
Setzt man die Gleichungen und in Gleichung ein, so erhält man das maximale Volumen
für einen Radius von :
Antwort
Das maximale Volumen der Schultüte beträgt in etwa bei einem Radius des Grundkreises des Kegels von und einer Kegelhöhe von
. Der Mittelpunktswinkel muss dafür betragen.
Lina muss also einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel herausschneiden, um die größte Schultüte zu basteln.
Beurteile an Hand von Durchmesser und Höhe des Kegels, ob sich die gebastelten Kegelmäntel auch als Schultüten eignen.
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Teillösung c)
Die Schultüten von Jana, Nish und Lina haben folgende Maße:
Name | Höhe | Kreisdurchmesser |
|---|---|---|
Nish | 49,3 cm | 16,7 cm |
Jana | 47,1 cm | 33,3 cm |
Lina | 29 cm | 82 cm |
Bei üblichen Schultüten findet man Verhältnisse von Durchmesser zu Höhe von bis .
Betrachtet man die gebastelten Schultüten, so hat die Tüte von Nish ein Verhältnis von Durchmesser zu Höhe von etwa , d.h. seine Tüte passt am besten zu den obigen Verhältnissen. Janas Tüte hat ein Verhältnis von d.h. ihre Tüte ist etwas zu breit im Vergleich zur Höhe.
Linas Tüte hat ein Verhältnis von Durchmesser zu Höhe von etwa . Ihre Tüte ist sehr breit im Vergleich zur Höhe. Dadurch lässt sich die Schultüte schwer in der Hand halten. Lina könnte dadurch wertvolle Süßigkeiten verlieren. Daher findet man beim Kauf eher längliche Schultüten.